回歸分析（regression analysis)是確定兩種或兩種以上變數間相互依賴的定量關系的一種統計分析方法。運用十分廣泛，回歸分析按照涉及的自變量的多少，可分為一元回歸分析和多元回歸分析；按照自變量和因變量之間的關系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析。如果在回歸分析中，只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析。如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關系，則稱為多元線性回歸分析。

方差齊性

線性關系

效應累加

變量無測量誤差

變量服從多元正態分布

觀察獨立

模型完整（沒有包含不該進入的變量、也沒有漏掉應該進入的變量）

誤差項獨立且服從（0,1）正態分布。

現實數據常常不能完全符合上述假定。因此，統計學家研究出許多的回歸模型來解決線性回歸模型假定過程的約束。

研究一 個或多個隨機變量Y1 ，Y2 ，…，Yi與另一些變量X1、X2，…，Xk之間的關系的統計方法。又稱多重回歸分析。通常稱Y1，Y2，…，Yi為因變量，X1、X2，…，Xk為自變量�；貧w分析是一類數學模型，特別當因變量和自變量為線性關系時，它是一種特殊的線性模型。最簡單的情形是一個自變量和一個因變量，且它們大體上有線性關系，這叫一元線性回歸，即模型為Y＝a＋bX＋ε，這里X是自變量，Y是因變量，ε是隨機誤差，通常假定隨機誤差的均值為0，方差為σ^2（σ^2大于0）σ2與X的值無關。若進一步假定隨機誤差遵從正態分布，就叫做正態線性模型。一般的情形，差有k個自變量和一個因變量，因變量的值可以分解為兩部分：一部分是由自變量的影響，即表示為自變量的函數，其中函數形式已知，但含一些未知參數；另一部分是由于其他未被考慮的因素和隨機性的影響，即隨機誤差。當函數形式為未知參數的線性函數時，稱線性回歸分析模型；當函數形式為未知參數的非線性函數時，稱為非線性回歸分析模型。當自變量的個數大于1時稱為多元回歸，當因變量個數大于1時稱為多重回歸。

回歸分析的主要內容為：①從一組數據出發確定某些變量之間的定量關系式，即建立數學模型并估計其中的未知參數。估計參數的常用方法是最小二乘法。②對這些關系式的可信程度進行檢驗。③在許多自變量共同影響著一個因變量的關系中，判斷哪個（或哪些）自變量的影響是顯著的，哪些自變量的影響是不顯著的，將影響顯著的自變量選入模型中，而剔除影響不顯著的變量，通常用逐步回歸、向前回歸和向后回歸等方法。④利用所求的關系式對某一生產過程進行預測或控制。回歸分析的應用是非常廣泛的，統計軟件包使各種回歸方法計算十分方便。

回歸分析的應用

相關分析研究的是現象之間是否相關、相關的方向和密切程度，一般不區別自變量或因變量。而回歸分析則要分析現象之間相關的具體形式，確定其因果關系，并用數學模型來表現其具體關系。比如說，從相關分析中我們可以得知“質量”和“用戶滿意度”變量密切相關，但是這兩個變量之間到底是哪個變量受哪個變量的影響，影響程度如何，則需要通過回歸分析方法來確定。

一般來說，回歸分析是通過規定因變量和自變量來確定變量之間的因果關系，建立回歸模型，并根據實測數據來求解模型的各個參數，然后評價回歸模型是否能夠很好的擬合實測數據；如果能夠很好的擬合，則可以根據自變量作進一步預測。

例如，如果要研究質量和用戶滿意度之間的因果關系，從實踐意義上講，產品質量會影響用戶的滿意情況，因此設用戶滿意度為因變量，記為Y；質量為自變量，記為X。根據圖8－3的散點圖，可以建立下面的線性關系：

Y=A+BX+§

式中：A和B為待定參數，A為回歸直線的截距；B為回歸直線的斜率，表示X變化一個單位時，Y的平均變化情況；§為依賴于用戶滿意度的隨機誤差項。

在SPSS軟件里可以很容易地實現線性回歸，回歸方程如下：

y=0.857+0.836x 

回歸直線在y軸上的截距為0.857、斜率0.836，即質量每提高一分，用戶滿意度平均上升0.836分；或者說質量每提高1分對用戶滿意度的貢獻是0.836分。

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上面所示的例子是簡單的一個自變量的線性回歸問題，在數據分析的時候，也可以將此推廣到多個自變量的多元回歸，具體的回歸過程和意義請參考相關的統計學書籍。此外，在SPSS的結果輸出里，還可以匯報R2，F檢驗值和T檢驗值。R2又稱為方程的確定性系數（coefficient of determination），表示方程中變量X對Y的解釋程度。R2取值在0到1之間，越接近1，表明方程中X對Y的解釋能力越強。通常將R2乘以100％來表示回歸方程解釋Y變化的百分比。F檢驗是通過方差分析表輸出的，通過顯著性水平（significant level）檢驗回歸方程的線性關系是否顯著。一般來說，顯著性水平在0.05以下，均有意義。當F檢驗通過時，意味著方程中至少有一個回歸系數是顯著的，但是并不一定所有的回歸系數都是顯著的，這樣就需要通過T檢驗來驗證回歸系數的顯著性。同樣地，T檢驗可以通過顯著性水平或查表來確定。在上面所示的例子中，各參數的意義如表8－2所示。

表8－2 線性回歸方程檢驗指標 顯著性水平 意義 

R 0.89 “質量”解釋了89％的“用戶滿意度”的變化程度

F 276.82 0.001 回歸方程的線性關系顯著 

T 16.64 0.001 回歸方程的系數顯著 

示例 SIM手機用戶滿意度與相關變量線性回歸分析

我們以SIM手機的用戶滿意度與相關變量的線性回歸分析為例，來進一步說明線性回歸的應用。從實踐意義講上，手機的用戶滿意度應該與產品的質量、價格和形象有關，因此我們以“用戶滿意度”為因變量，“質量”、“形象”和“價格”為自變量，作線性回歸分析。利用SPSS軟件的回歸分析，得到回歸方程如下：

用戶滿意度＝0.008×形象＋0.645×質量＋0.221×價格

對于SIM手機來說，質量對其用戶滿意度的貢獻比較大，質量每提高1分，用戶滿意度將提高0.645分；其次是價格，用戶對價格的評價每提高1分，其滿意度將提高0.221分；而形象對產品用戶滿意度的貢獻相對較小，形象每提高1分，用戶滿意度僅提高0.008分。

方程各檢驗指標及含義如下：

指標 顯著性水平 意義 

R2 0.89 “質量”和“形象”解釋了89％的“用戶滿意度”的變化程度 

F 248.53 0.001 回歸方程的線性關系顯著 

T（形象） 0.00 1.000 “形象”變量對回歸方程幾乎沒有貢獻 

T（質量） 13.93 0.001 “質量”對回歸方程有很大貢獻 

T（價格） 5.00 0.001 “價格”對回歸方程有很大貢獻 

從方程的檢驗指標來看，“形象”對整個回歸方程的貢獻不大，應予以刪除。所以重新做“用戶滿意度”與“質量”、“價格”的回歸方程如下：

用戶滿意度＝0.645×質量＋0.221×價格

對于SIM手機來說，質量對其用戶滿意度的貢獻比較大，質量每提高1分，用戶滿意度將提高0.645分；用戶對價格的評價每提高1分，其滿意度將提高0.221分（在本示例中，因為“形象”對方程幾乎沒有貢獻，所以得到的方程與前面的回歸方程系數差不多）。

方程各檢驗指標及含義如下：

指標 顯著性水平 意義 

R 0.89 “質量”和“形象”解釋了89％的“用戶滿意度”的變化程度 

F 374.69 0.001 回歸方程的線性關系顯著 

T（質量） 15.15 0.001 “質量”對回歸方程有很大貢獻 

T（價格） 5.06 0.001 “價格”對回歸方程有很大貢獻